Comment calculer un pourcentage inversé ?

Aujourd’hui, le monde tourne autour d’un axe important : le pourcentage. Le nombre de personnes employées, le pilori médiatique, chômeurs, la remise à appliquer aux marchandises pendant une vente, etc. En fait, tout est exprimé en pourcentage. Aviez-vous jamais entendu parler du pourcentage inversé ? Découvrez dans cet article, comment calculer le pourcentage inversé.

Calcul du pourcentage direct

La notion de pourcentage n’est pas compliquée. Lorsqu’on dit que 50 % des gens maîtrisent correctement la notion de calcul de pourcentage direct et inversé, cela voudra dire que sur 100 personnes, seulement 50 savent de quoi il s’agit.

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Ainsi, pour faire le calcul du pourcentage direct, il faut savoir deux choses :

Après avoir obtenu ces deux quantités numériques, il ne reste qu’à calculer le montant du pourcentage (x). Mais ça se fait ?

On suppose que vous avez à résoudre un problème de ce type : vous avez acheté une grande quantité de tomates contenues dans une caisse de 40 kg bruts, la tare fait 4 % du pourcentage brut. Comment calculer cette tare ?

Avec cet exemple, on sait d’abord que la somme (S) est égale à 40, et que le taux de pourcentage (r) est de 4. Il suffit alors de rechercher le pourcentage (x) qui révèle la tare. Ainsi, avec les anciennes proportions, nous obtenons :

100/r = S/x

Ensuite, il faut simplement remplacer la (S) et la (r) par leurs valeurs respectives : 40 et 4. En conséquence, on obtient :

100/4 = 40/x

Cette formule est une équation du premier degré. Alors l’inconnu, le pourcentage, sera déterminé en multipliant les extrêmes (x et 100) et en les égalant au produit du milieu (40 et 4), soit :

100x = 40 * 40

Ce qui fait 100x = 160

D’où il provient logiquement que x = 160/100

Et donc x = 1,6.

La taxe recherchée est alors de 1,6 kg.

Calcul du pourcentage inversé

Le calcul du pourcentage inversé est un peu différent. Dans ce cas, une série de calculs doit être réalisée, en se basant à nouveau sur une proportion.

La démarche est pratiquement plus complexe que celle expliquée précédemment. Néanmoins, ne soyez pas découragé des apparences ! Il existe deux cas distincts A et B.

Le cas A

Dans le cas A, le pourcentage est formé de 2 chiffres (soit 10 % à 99 %). On suppose que 30 % du chiffre s’ajoute à un quelconque chiffre x et que cette somme s’élève à 100 euros. Le problème à résoudre ici est de trouver la valeur (nommée inverse) du chiffre de départ.

Afin de trouver cet inverse, il suffit d’ajouter 1 devant le pourcentage, et diviser le nombre par 100. Mais attention, lorsqu’on dit que vous devez « ajouter 1 », cela voudra dire mettre 1 devant le pourcentage et ne pas l’ajouter au pourcentage.

Dans notre exemple, si nous mettons 1 devant 30, nous obtiendrons 130 (et non 1+30 = 31). Nous ferons par la suite 130/100 et nous aurons 1,30. Pour finir, pour avoir le x de départ, il suffit de diviser la somme connue de 100 euros par 1,30.

Autrement dit, 100 euros/1,30 = 76,92 euros.

En conséquence, avec notre exemple, le chiffre x de départ inconnu est de 76,92 euros. Pour preuve, lorsqu’on calcule les 30 % de 76,92, on obtient 23,08 qui, ajouté au 76,92 de départ, donne 100.

Le cas B

Dans le cas B, le pourcentage est d’un seul chiffre (de 1 % et 9 %). Prenons l’exemple d’un actif qui coûte 100 euros TTC 3 % TVA.

Ici, contrairement au cas précédent, il va falloir ajouter 10 (et non 1) devant le pourcentage et diviser le nombre obtenu par 100.

Dans notre cas, si nous mettons 10 devant 3, nous obtiendrons 103 (et non 10 + 3 = 13). Nous ferons par la suite 103/100 et nous avons 1,03. Pour finir, pour obtenir le prix du bien non taxé, il faut diviser le coût du bien taxé (100) par 1,03.

Autrement dit, 100 euros/1,03 = 97,087 euros.

Pour preuve, on aura que 3 % de 97,087 = 2,913 qui complétés à 97,087 donneront exactement 100.

Exemples d’utilisation du pourcentage inversé

Maintenant que vous savez comment calculer un pourcentage inversé, il est temps de voir quelques exemples concrets d’utilisation.

Supposons que vous avez besoin de savoir combien vous gagnez chaque mois. Votre salaire brut est actuellement de 3000 €, et les cotisations sociales déduites représentent 25 % de votre salaire brut. Comment faire pour avoir une idée du montant des retenues sur votre salaire ?

Il faut donc trouver la valeur inverse qui donne le chiffre initial (le revenu brut dans ce cas). Pour cela, nous mettons le taux en tant qu’unité dans l’équation :
x • (x × 0,25) = 3 000 €
où x représente la solution recherchée.
Simplifions cette équation
=> x • 0,25x = 3 000€
=>(1-0,25)x = 3 000€
On a donc :x=(3000/0,75) = 4000 €. Le calcul du revenu brut annuel s’obtient facilement par multiplication avec coefficient selon le nombre de mois travaillés.
Avec cet exemple simple mais pratique, vous pouvez comprendre comment utiliser les connaissances acquises sur le calcul d’un pourcentage inversé au quotidien.

Un autre exemple est celui où vous devez ajouter ou soustraire un certain pourcentage à partir d’une somme connue. Supposons que votre prix actuel soit de $50 et que vous voulez augmenter votre prix de 20 %. Quel sera le nouveau prix ?

Le calcul est simple. Vous devez ajouter le pourcentage désiré (20%) à l’unité, puis multiplier le résultat par la somme connue ($50 dans ce cas). Cela donne:
(1 + 0,20) x $50 = $60 Si vous augmentez votre prix actuel de 20 %, il passera à $60. Il convient de noter que ces formules sont applicables non seulement aux mathématiques financières ou commerciales mais aussi dans d’autres domaines comme les sciences physiques où on peut utiliser des pourcentages inversés pour déterminer une grandeur initiale connaissant sa variation après avoir appliqué un certain facteur multiplicatif. Effectivement, les concepts mathématiques ont des applications pratiques variées et peuvent être très utiles à tout moment.

Différences entre pourcentage direct et pourcentage inversé

Il faut faire la distinction entre le pourcentage direct et le pourcentage inversé. Le pourcentage direct représente un taux qui s’applique sur une valeur initiale pour obtenir une autre valeur. Par exemple, si vous avez 100 € et que vous souhaitez appliquer un taux de 10 %, vous multipliez 100 par 0,1 (le taux écrit en décimal) pour obtenir le montant correspondant à l’augmentation ou la diminution du prix initial.

Le calcul d’un pourcentage inversé est différent car il permet de trouver la valeur initiale connaissant deux valeurs relatives auxquelles les données sont liées comme nous avons vu dans notre premier exemple. Il faut donc retrouver la valeur absolue sachant qu’une partie a été soustraite ou ajoutée. Les deux types de calculs peuvent sembler similaires au premier abord mais ils sont différents dans leur procédure.

La différence principale réside dans la façon dont on traite l’équation mathématique : lorsque nous voulons effectuer un calcul avec un pourcentage direct, nous utilisons généralement cette formule :
(Taux/1) x Valeur_initiale = Valeur_finale.
où Taux est exprimé en %.
Par contre, lorsqu’il s’agit d’un pourcentage inversé, nous avons comme énoncé précédemment :
Prix_initial / (1 • Taux/100) = Prix_relatif.

Pour bien comprendre ces notions, voici un exemple concret :
Supposons que vous achetiez un produit soldé en magasin à -20%. Le prix affiché est de 80 €. Si vous voulez connaître le prix initial du produit avant la réduction, il faut utiliser une formule de pourcentage inversé. On a donc :
Prix_initial / (1 • 20/100) = 80 €.
En simplifiant l’équation :
0,8 x Prix_initial = 80 €.
On obtient donc :
Prix_initial = 100 €.

Ce calcul permet ainsi de retrouver la valeur initiale du produit avant qu’il ne soit soldé et d’évaluer l’impact des promotions sur votre budget global.

Comme nous pouvons le constater, les concepts mathématiques sont très importants dans notre vie quotidienne même si cela peut sembler complexe. Pour se faciliter la tâche dans ces calculs spécifiques, il est recommandé d’utiliser une calculette ou un tableur Excel qui effectuera automatiquement les opérations complexes nécessaires afin de trouver facilement les résultats escomptés.